数学
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# 数学
# 导数
设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ ，$(x_0 + \Delta x)$ 也在该邻域内时，相应地函数取得增量 $y=f(x_0+\Delta x)-f(x0))$ ；如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时极限在，则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f’(x_0)$，即： $$ f'(x_0) = \underset{\Delta x \to 0}{lim} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$
# 几何意义
函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 点的导数 $f'(x_0)$ 的几何意义：表示函数曲线在点 $P_0(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率。
# 常用公式
| 函数 | 原函数 | 导函数 |
|---|---|---|
| 常函数 | $y=C$ | $y'=0$ |
| 指数函数 | $y=a^x$ | $y’=a^x\ln a$ |
| e | $y= e^x$ | $y’=e^x$ |
| 幂函数 | $y=x^n$ | $y’=nx^{n-1}$ |
| 对数函数 | $y=\log_ax$ | $y'=\frac{1}{x\ln a}$ |
| 1/e | $y=\ln x$ | $y'=\frac{1}{x}$ |
| 正弦函数 | $y=\sin x$ | $y’=\cos x$ |
| 余弦函数 | $y=\cos x$ | $y'=-\sin x$ |
| 正切函数 | $y=\tan x$ | $y'=\sec ^2 x$ |
| 余切函数 | $y=\cot x$ | $y'=-\csc ^2 x$ |
| 正割函数 | $y=\sec x$ | $y'=\tan x\sec x$ |
| 余割函数 | $y=\csc x$ | $y'=-\csc x\cot x$ |
| 反正弦函数 | $y=\arcsin x$ | $y'=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| 反余弦函数 | $y=\arccos x$ | $y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| 反正切函数 | $y=\arctan x$ | $y'=\frac{1}{1+x^2}$ |
| 反余切函数 | $y=arccot \ x$ | $y'=-\frac{1}{1+x^2}$ |
| 双曲线函数 | $y=sh \ x$ | $y'=ch \ x$ |
# 导数的四则运算
$$ (u \pm v)' = u' \pm v' \ (uv)' = u'v + uv' \ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$